Александр Богданов (Малиновский). От философии к организационной науке. Окончание
Социально-технические основы геометрии. Тезисы к докладу
Александр Богданов (Малиновский)
Дата публикации: 13 Января 2003
Печатается с сокращениями. Целиком текст выйдет в первом (2003) номере журнала "Вопросы философии"
Начало - здесь , продолжение - здесь .
1. По обычному определению, Геометрия есть наука о пространственных величинах.
Наука - это всегда организованная система, охватывающая некоторую сумму коллективного опыта .
Величина есть результат измерения .
Пространство нашей геометрии характеризуется трехмерностью, однородностью, бесконечностью, бесконечной делимостью .
Это характеристика его организационной формы. Его элементы в опыте воспринимаются иннервационным чувством (чувством "усилия").
2. Измерение не есть простое непосредственное количественное сравнение , оно отличается приложением технически специализированной меры .
В элементарном непосредственном сравнении "больше" и "меньше" стоят в ряду всяких сравнительных степеней ("ярче", "теплее", "больнее" и т.д.), ничем существенно из него не выделяясь. Первобытное "больше" - грознее. Только мера и результат ее применения - определенное численное отношение - создают из сравнения измерение.
Мера социально (технически) вырабатывается и социально (идеологически) обусловливается - ее "признанием". Она является прежде всего, как материальное орудие - эталон. "Косы" и "лапоть". "Локоть", "фут" (стопа) и пр. Метр .
Геометрия немыслима без социально-фиксированной, технически точной меры. Ни ее постулаты, ни ее теоремы не могут быть получены без этого, не могут быть " истинными ", т.е. иметь реальное значение, быть опорой для практики .
Представление об "абсолютной" геометрии, независимой от коллективного, исторически развивающегося опыта, об "истинности всех теорем даже в мире, лишенном всякой жизни", есть фетишизм, который скрыто вводит вечного и абсолютного измерителя, т.е. божество (которое есть не что иное, как авторитарный символ той же социальной связи).
3 . Трехмерность пространства отнюдь не первична. Число направлений, по которым возможно измерять, бесконечно . Сведение их к трем, дальше не сводимым, - результат опыта. Реальное сложение разнонаправленных усилий (или вызываемых ими перемещений) обнаруживает эквивалентную замену двух направлений одним (направление равнодействующей), а следовательно и обратную замену. Только через такую замену бесчисленные направления сводятся к трем, из которых каждое не может быть замещено соединением двух других.
Природа в нашем организме осуществила и предопределила этот анализ посредством трех полукружных каналов внутреннего уха. Но это стало известно весьма недавно. Геометрия же могла исходить только из реально выполняемой технической замены направлений в трудовой ориентации.
Решительную роль в научном фиксировании трехмерности должно было сыграть именно строительное дело, постройка прямоугольных жилищ и ящиков, дающих три координаты в их непосредственно материальном, а это значит - в их первичном виде. Это - миллиарды раз выполненный людьми и квадриллионы раз воспринятый - эталон трехмерной системы координат.
4 . Однородность пространства еще менее первична. Она, в сущности, и не могла фиксироваться в мышлении, пока не была практически обнаружена шарообразность Земли и тяготение к ее центру. Поэтому, например, космогония Эпикура могла исходить из падения атомов в абсолютном пространстве: верх и низ в нем еще существовали для Эпикура.
Это - результат технического опыта, количественного различия производительности усилий, направленных вверх, вниз или в сторону.
Эта неоднородность сказывалась в понятиях "вертикали" и "горизонтали", первоначально геометрических, и теперь еще сохраняется в обозначении, даже в геометриях, трех мер пространства, как "высоты", "ширины" и "длины" (" высота " треугольника и его " основание " и т.п.).
Если эта неоднородность специально не фиксировалась античными геометрами, то именно потому, что они всецело отвлекались от опытной основы пространственности - от физического усилия (отвлекались, разумеется, лишь мысленно, т.е. словесно). И характер античной культуры в эпоху расцвета, с ее отношением к физическому труду, достаточно объясняет эту тенденцию, которая из рабовладельчески-интеллигентской геометрии перешла вполне естественно и в буржуазно-интеллигентскую.
5 . Бесконечность - также не первичная черта пространства и в научном мышлении. Еще для Аристотеля вселенная была ограниченной и пространство - конечным. Неограниченно развертывающиеся ряды не укладываются в мышление авторитарных эпох с их технической и организационной ограниченностью. Впрочем, античное мышление - не однородное целое.
Только социально-техническая прогрессивность шаг за шагом формирует мышление в смысле неопределенного развертывания, открывая всюду новые и новые горизонты.
6. И бесконечная делимость , по тем же причинам, была чужда даже античному мышлению, особенно в его консервативной стороне. Парадоксы Зенона основаны, по существу, на неспособности мыслить эту бесконечную делимость - непрерывность.
Архимед, по-видимому, силой индивидуального гения дошел до него, но античный мир не воспринял этих его открытий; они прошли так, как если бы их не было: яркая иллюстрация господства сложившихся социальных форм мышления над силами индивидуального творчества.
Мышление бесконечной делимости пространства, как и вообще величины, развилось на основе техники, требовавшей точности и вынужденной учитывать невоспринимаемо малые: техника Нового времени буржуазного мира. Эта техника должна была выдвинуть микроскоп и телескоп, а они разорвали границы сложившегося восприятия и мышления величин. В дальнейшем, в океанических плаваниях эпохи великих открытий неуловимые погрешности направления могли приобретать роковое значение.
7. Геометрический опыт, разумеется, предшествует геометрии - науке его организации.
Можно различать три стороны и, в то же время, фазы геометрического опыта.
a)Опыт простой координации усилий (линии, углы).
Уже в примитивно-охотничьем быту: роль прямой линии, ломаной, угла, углового
диаметра в непосредственном расчете и ориентировке усилий при перемещениях, преследовании зверей и пр.
Здесь дело идет о простом последовательном сложении усилий. При перемещениях по ровной местности всякое отклонение от "прямого" пути увеличивает затрату усилий: прямая - кратчайшее расстояние. Если видимый (угловой) диаметр предмета уменьшается вдвое, это указывает на двойное расстояние, т.е. двойную сумму последовательных усилий для достижения предмета и т.п.
b) Опыт аналитический .
Уже с началом скотоводства и земледелия [он возникает] как опыт, относящийся к площадям; со строительно-инженерным делом - к площадям и объемам. Это вообще - практические случаи, в которых переменные отношения не сводятся к простой пропорциональности, и в которых, скрыто или явно, приходится учитывать бесконечно малые.
Так, квадратный участок со стороной вдвое большей требует для обработки четверного количества труда; кубическая постройка, при таком же соотношении, - восьмерной суммы усилий на доставку материалов; неуловимое различие в линейных измерениях может быть ощутительно в объемных: линейная сажень проволоки и кубическая сажень железа.
c) Опыт векториальный (сложная координация).
Соединение усилий при необходимости учета их направления : комбинация рабочих сил, в которой они не могут быть приложены вместе по одному направлению, опыт применения всякого рода "машин", начиная с рычага, паруса и пр.
Реально-трудовой "параллелизм" сил, скоростей, перемещений и пр.
Все фазы геометрического опыта переплетаются.
8. Усилие не просто индивидуальное, а социально-необходимое.
В общем, геометрический опыт охватывает пространственную координацию (ориентировку и соразмерение) коллективно -трудовых элементов (усилий, а через них - и вещей).
Астрономия также дает пространственную, а через нее и временную корректировку коллективно-трудовых процессов: мировые координаты, меры времени, точные меры протяжения. Но здесь задача и опыт более специальные: фиксирование основ для такой ориентировки, опорных баз и опорных пунктов для нее. Геометрия же дает координацию на произвольных базах, пластическую , а не фиксирующую .
9. Три фазы геометрического опыта различаются своим организационным типом настолько, что их "аксиомы" взаимно противоречат друг другу.
Для простейшей иллюстрации может служить отношение двух сторон треугольника к третьей.
a) Элементарная геометрия: сумма двух сторон треугольника больше третьей.
b)Аналитическая геометрия: сумма двух сторон треугольника может быть равна третьей, - когда одна из этих двух бесконечно мала или бесконечно малы два угла.
c) Векториальный анализ: сумма двух сторон треугольника вообще равна третьей.
10. Современная геометрия в своем основном построении, как и в способе изложения, имеет метафизически-схоластический характер.
Ее понятия абсолютны [и] потому в действительности не мыслимы.
Точка, не имеющая измерения; линия, имеющая только одно измерение и пр., чувственно
не могут быть восприняты , следовательно, не могут стать содержанием представления , которое есть след восприятия, а потому - и мышления , которое оперирует с представлениями. Определение этих понятий только словесное. Оперируют же геометры на деле не с ними, а с живыми, реальными представлениями.
Точка есть тело, измерения которого не входят в данный акт исследования, не интересуют в данном случае познание (например, атом, электрон в обычных расчетах физика; Солнце, другие звезды в расчетах звездного распределения и т.п.).
Линия есть тело, в котором для данной задачи интересно только одно измерение (например, луч в элементарных расчетах физика; канат при измерениях глубины и т.д.).
Линию надо считать суммой ее точек , площадь - суммой ее ординат , объем - суммой ординатных площадей . Конечное, т.е. имеющее практическое значение, есть сумма бесконечно малых, т.е. элементов, по отдельности практического значения не имеющих.
"Чистые" постулаты нынешней геометрии относятся к ее абсолютным понятиям и немыслимы вместе с ними.
Вопрос вполне решается уже тем, что постулаты трех фаз геометрии несовместимы между собой.
11. Нынешний способ изложения геометрии, как системы доказательств, оперирующих
формальной логикой, есть ребяческая схоластика - по существу, преступная растрата сил - по результатам.
Недостаточность формальной логики для "доказательства" теперь вещь установленная.
Одного понятия непрерывности уже достаточно, чтобы сделать негодными все схоластические доказательства.
Пуанкаре формулирует идею непрерывности так:
A равно B
B равно C
C больше A.
12. Положительные выводы ясны.
Преобразование геометрии должно вернуть ее к опытной, т.е. коллективно-трудовой основе. Соответственно ей должно быть построено изложение и преподавание, очищенное от "чистых" понятий.
"Доказательства" могут быть сохранены лишь постольку, поскольку они могут оказаться, в иных случаях, мнемонически полезны, или могут служить способами решения задач; а их общие приемы достаточно дать на нескольких иллюстрациях. Реальные измерения и графика сделают наибольшую часть доказательств излишней.
Новое геометрическое мышление будет производительнее.